Question

【題目】設函數（）.

（1）若函數在定義域上是單調函數，求實數的取值范圍；

（2）求函數的極值點；

（3）令， ，設， ， 是曲線上相異三點，其中.求證： .

Answer 1

【答案】（1）實數的取值范圍是

（2）時， 有唯一極小值點，

時， 有一個極大值點和一個極小值點；

時， 無極值點.

（3）證明見解析

【解析】試題分析：（1）利用導數轉化為： 或在上恒成立.再根據變量分離轉化為對應函數最值： 最大值或最小值，即得.（2）實質為討論一元二次方程解的情況：當時，方程無解，函數無極值點； 時，方程有一解,函數有一個極值點； 時，方程有兩解,函數有兩個極值點；（3）借助第三量進行論證，先證，代入化簡可得，構造函數，其中（），利用導數易得在上單調遞增，即，即有，同理可證，

試題解析：解：（1），

函數在定義域上是單調函數， 或在上恒成立.

若恒成立，得.

若恒成立，即恒成立.

在上沒有最小值， 不存在實數使恒成立.

綜上所述，實數的取值范圍是.

（2）由（1）知當時，函數無極值點.

當時， 有兩個不同解， ， ，

時， ， ，即， ，

時， 在上遞減，在上遞增， 有唯一極小值點；

當時， .

， ， 在上遞增，在遞減，在遞增，

有一個極大值點和一個極小值點.

綜上所述， 時， 有唯一極小值點，

時， 有一個極大值點和一個極小值點；

時， 無極值點.

（3）先證： ，即證，

即證 ，

令（），， ，

所以在上單調遞增，即，即有，所以獲證.

同理可證： ，

所以.