Question

【題目】設函數

（1）當時，求函數的單調區間；

（2）令，其圖象上任意一點處切線的斜率恒成立，求實數的取值范圍.

（3）當時，方程在區間內有唯一實數解，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 的單調增區間為，減區間為；（2）；(3) .

【解析】試題分析：（1）先求導數然后在函數的定義域內解不等式和的區間為單調增區間， 的區間為單調減區間；（2）先構造函數再由以其圖象上任意一點為切點的切線的斜率恒成立，知導函數恒成立，再轉化為求解；（3）先把握有唯一實數解，轉化為有唯一實數解，再利用單調函數求解.

試題解析：（1）依題意，知的定義域為，

當時， ，

令，解得或（舍去），

當時， ；當時， ，

所以的單調增區間為，減區間為.

（2）由題意知，則有在（0,3）上恒成立，所以，當x0=1時， 取得最大值，

所以

（3）當時， ，

由，得，又，所以，

要使方程在區間上有唯一實數解，

只需有唯一實數解

令，∴，由得； ，得，

∴在區間上是增函數，在區間上是減函數.

，故 .

【方法點晴】本題主要考查的是利用導數研究函數的單調性、利用導數研究方程的根、不等式的恒成立和導數的幾何意義，屬于難題．利用導數研究函數的單調性的步驟：①確定函數的定義域；②對求導；③令，解不等式得的范圍就是遞增區間；令，解不等式得的范圍就是遞減區間.