Question

已知函數(shù)f（x）=3+x-e^x的定義域為R．
（1）則函數(shù)f（x）的零點個數(shù)為

 

；
（2）對于給定的實數(shù)k，已知函數(shù)f_k（x）=

f(x)，f(x)≤k k，f(x)＞k

，若對任意x∈R，恒有f_k（x）=f（x），則k的最小值為

 

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由f（x）=3+x-e^x=0，得到e^x=x+3，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為求k≥f（x）_max，利用導(dǎo)數(shù)即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）由f（x）=3+x-e^x=0，則e^x=x+3，作出函數(shù)y=e^x和y=x+3的圖象，
則兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)為2個，
故函數(shù)f（x）的零點個數(shù)為2個．
（2）由題意可得出k≥f（x）_max，
由于f′（x）=1-e^x，令f′（x）=0，e^x=1=e⁰解出x=0，
當(dāng)x＞0時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x＜0時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
故當(dāng)x=0時，f（x）取到最大值f（0）=3-1=2．
故當(dāng)k≥2時，恒有f_k（x）=f（x）
因此k的最小值為2．
故答案為：（1）2，（2）2

點評：本題主要考查函數(shù)零點個數(shù)的判斷以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值問題，綜合性較強，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．