Question

【題目】已知橢圓E的長軸的一個(gè)端點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，離心率是．

（1）求橢圓E的方程；

（2）過點(diǎn)，斜率為k的動直線與橢圓E相交于A、B兩點(diǎn)，請問x軸上是否存在點(diǎn)M，使為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在點(diǎn)滿足題意．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意橢圓的焦點(diǎn)在軸上，拋物線的焦點(diǎn)為，所以橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為，聯(lián)立解得橢圓的方程；（2）設(shè)直線方程為代入橢圓方程中，由韋達(dá)定理解得，同時(shí)設(shè)進(jìn)而求得的解析式滿足定值的條件，找到，得到點(diǎn)的坐標(biāo)．

試題解析：（1）根據(jù)條件可知橢圓的焦點(diǎn)在x軸，

且

故所求方程為即．

（2）假設(shè)存在點(diǎn)M符合題意，設(shè)AB：代入得：

,則

要使上式與K無關(guān)，則有，解得，存在點(diǎn)滿足題意．