Question

【題目】已知函數f（x）=ax+ +2﹣2a（a＞0）的圖象在點（1，f（1））處的切線與直線y=2x+1平行．
（1）求a，b滿足的關系式；
（2）若f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍；
（3）證明：1+ + +…+ ＞ （2n+1）+ （n∈N*）．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數的導數為f′（x）=a﹣ ，

因為f（x）=ax+ +2﹣2a（a＞0）的圖象在點（1，f（1））處的切線與直線y=2x+1平行．

所以f'（1）=2，即f'（1）=a﹣b=2，所以b=a﹣2

（2）解：因為b=a﹣2，所以f（x）=ax+ +2﹣2a，

若f（x）≥2lnx，則f（x）﹣2lnx≥0，

設g（x）=f（x）﹣2lnx=ax+ +2﹣2a﹣2lnx，x∈[1，+∞）．

則g（1）=0，g′（x）= ，

①當0＜a＜1時， ＞1，若1＜x＜ ，則g'（x）＜0，

此時g（x）在[1，+∞）上單調遞減，所以g（x）＜g（1）=0，

即f（x）≥2lnx在[1，+∞）不恒成立．

②若a≥1， ≤1，當x＞1時，g'（x）＞0，g（x）在[1，+∞）上單調遞增，

又g（1）=0，所以此時f（x）≥2lnx．

綜上所述，所求a的取值范圍是[1，+∞）

（3）證明：由（2）知當a≥1時，f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立．

取a=1得x﹣ ≥2lnx

令x= ＞1，得 ﹣ ＞2ln ，

即 ﹣ ＞ln ，

所以 ＞ ln + （ ﹣ ）

上式中n=1，2，3，…，n，然后n個不等式相加得1+ + +…+ ＞ （2n+1）+

【解析】（1）利用函數在點（1，f（1））處的切線與直線y=2x+1平行，得到f'（1）=2，然后利用導數確定a，b滿足的關系式．（2）構造函數g（x）=f（x）﹣2lnx=ax+ +2﹣2a﹣2lnx，x∈[1，+∞）．利用導數求函數的最值即可．（3）取a=1得x﹣ ≥2lnx，令x= ＞1，得 ＞ ln + （ ﹣ ），上式中n=1，2，3，…，n，然后n個不等式相加得結論．