Question

某商店每天（開始營業(yè)時(shí)）以每件20元的價(jià)格購入甲商品若干（甲商品在商店的保鮮時(shí)間為10小時(shí)，該商店的營業(yè)時(shí)間也恰好為10小時(shí)），并開始以每件30元的價(jià)格出售，若前8小時(shí)內(nèi)所購進(jìn)的甲商品沒有售完，則商店對(duì)沒賣出的甲商品將以每件10元的價(jià)格低價(jià)處理完畢（根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，2小時(shí)內(nèi)完全能夠把甲商品低價(jià)處理完畢，且處理完畢后，當(dāng)天不再購進(jìn)甲商品）．該商店統(tǒng)計(jì)了100天甲商品在每天的前8小時(shí)內(nèi)的銷售量，由于某種原因 銷售量頻數(shù)表中的部分?jǐn)?shù)據(jù)被污損而不能看清，制成如下表格（注：視頻率為概率）．

前8小時(shí)內(nèi)的銷售量X（單位：件）	3	4	5	6
頻數(shù)	20	20	x	y

（Ⅰ）若某天商店購進(jìn)甲商品5件，試求商店該天銷售甲商品獲取利潤Y的分布列和方差；
（Ⅱ）若商店每天在購進(jìn)5件甲商品時(shí)所獲得的平均利潤比購進(jìn)6件甲商品時(shí)所獲得的平均利潤大，求x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù),極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）當(dāng)需求量為3時(shí)，Y=10×3-2×10=10，當(dāng)需求量為4時(shí)，Y=10×4-1×10=30，當(dāng)需求量為5時(shí)，Y=10×5=50，當(dāng)需求量為6時(shí)，Y=10×5=50，由此能求出商店該天銷售甲商品獲取利潤Y的分布列和方差．
（Ⅱ）求出購進(jìn)6件甲商品時(shí)所獲得的平均利潤E′Y=40-20x，由已知條件得38＞40-20x，由此能求出x的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)需求量為3時(shí)，Y=10×3-2×10=10，
當(dāng)需求量為4時(shí)，Y=10×4-1×10=30，
當(dāng)需求量為5時(shí)，Y=10×5=50，
當(dāng)需求量為6時(shí)，Y=10×5=50，
∴Y的分布列為：

Y	10	30	50
P	0.2	0.2	0.6

EY=10×0.2+30×0.2+50×0.6=38，
DY=（38-10）²×0.2+（30-38）²×0.2+（50-38）²×0.6=256．
（Ⅱ）購進(jìn)6件甲商品時(shí)：
當(dāng)需求量為3時(shí)，Y=10×3-3×10=0，
當(dāng)需求量為4時(shí)，Y=10×4-2×10=20，
當(dāng)需求量為5時(shí)，Y=10×5-1×10=40，
當(dāng)需求量為6時(shí)，Y=10×6=60，
∴購進(jìn)6件甲商品時(shí)所獲得的平均利潤：
E′Y=0×0.2+20×0.2+40x+60（1-0.4-x）=40-20x，
∵商店每天在購進(jìn)5件甲商品時(shí)所獲得的平均利潤比購進(jìn)6件甲商品時(shí)所獲得的平均利潤大，
∴38＞40-20x
解得x＞0.1．又x≤1，
∴x的取值范圍是（0.1，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．