Question

【題目】已知動圓過定點且與圓相切，記動圓圓心的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過點且斜率不為零的直線交曲線于， 兩點，在軸上是否存在定點，使得直線的斜率之積為非零常數？若存在，求出定點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）當定點為時，常數為；當定點為時，常數為．

【解析】試題分析：（Ⅰ）設動圓的半徑為，則可得，從而可得結果；（Ⅱ）依題意可設直線的方程為， ， ，聯立直線方程與橢圓方程，假設存在定點，根據韋達定理， ，由可得結論.

試題解析：（Ⅰ）設動圓的半徑為，

由： 及知點在圓內，則有

從而，

所以的軌跡是以， 為焦點，長軸長為4的橢圓，

設曲線的方程為，則， ，

所以， ，

故曲線的軌跡方程為．

（Ⅱ）依題意可設直線的方程為， ， ，

由得，

所以則，

，

假設存在定點，使得直線， 的斜率之積為非零常數，則

，

所以 ，

要使為非零常數，當且僅當解得，

當時，常數為，

當時，常數為，

所以存在兩個定點和，使直線， 的斜率之積為常數，當定點為時，常數為；當定點為時，常數為．

【方法點晴】本題主要考查待定義法求橢圓的標準方程以及解析幾何中的存在性問題，屬于難題.解決存在性問題，先假設存在，推證滿足條件的結論，若結論正確則存在，若結論不正確則不存在，注意：①當條件和結論不唯一時要分類討論；②當給出結論而要推導出存在的條件時，先假設成立，再推出條件；③當條件和結論都不知，按常規方法題很難時采取另外的途徑.