Question

【題目】已知橢圓的兩個焦點坐標分別是，并且經過.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過橢圓的右焦點作直線，直線與橢圓相交于兩點，當的面積最大時，求直線的方程.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 或.

【解析】試題分析：（1）根據橢圓定義可得 ,又 ，可得 ，（2）聯立直線方程與橢圓方程，利用韋達定理及弦長可得AB，利用原點到直線距離得三角形的高，根據三角形面積公式可得的面積為，令，利用基本不等式求最值.

試題解析：（1）因為橢圓的焦點在軸上，所以設它的標準方程為： ，

由橢圓的定義知： ，

所以，又因為，所以，

因此，所求橢圓的方程為；

（2）設過的直線的方程為： ，

由，消得： ，

∴，

∴，

∵到直線的距離，

∴，

令，則，

∴，當且僅當，即，

即時，取“=”，

∴的面積最大時，直線的方程為： 或.