Question

【題目】已知拋物線的焦點為，軸上方的點在拋物線上，且，直線與拋物線交于，兩點（點，與不重合），設直線，的斜率分別為，.

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）當時，求證：直線恒過定點并求出該定點的坐標.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；

（Ⅱ）見解析.

【解析】

（Ⅰ）根據及拋物線定義可求p，從而得到方程；

（Ⅱ）設出直線方程，與拋物線方程相聯立，寫出韋達定理，結合可得關系，從而得到定點坐標.

（Ⅰ）由拋物線的定義可以，

,拋物線的方程為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，點的坐標為

當直線斜率不存在時，此時重合，舍去.

當直線斜率存在時，設直線的方程為

設，將直線與拋物線聯立得：

又，

即，

，

，

將①代入得，

即

得或

當時，直線為，此時直線恒過;

當時，直線為，此時直線恒過（舍去）

所以直線恒過定點.