Question

【題目】在平面幾何中，研究三角形內任意一點與三邊的關系時，有真命題：邊長為的正三角形內任意一點到各邊的距離之和是定值。類比上述命題，請寫出關于正四面體內任意一點與四個面的關系的一個真命題，并給出證明。

Answer 1

【答案】在一個棱長為的正四面體內任意一點到各個面的距離之和是定值，證明見解析。

【解析】

通過類比，即可得到關于正四面體內任意一點與四個面的關系的一個真命題，利用幾何性質即可證明。

類比邊長為的正三角形內任意一點到各邊的距離之和是定值，得到正四面體內任意一點與四個面的關系的一個真命題：在一個棱長為的正四面體內任意一點到各個面的距離之和是定值，

如圖：

設為正四面體內任意一點，正四面體的棱長為，到面，面，面，面的距離分別為，由于正四面體四個面的面積相等，則有：

，

由于，，所以，

所以棱長為的正四面體內任意一點到各個面的距離之和為