Question

【題目】已知函數．

（1）當時，求函數的單調區間；

（2）若的負整數解有且只有兩個，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：（1）求出，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間；（2）當時，可化為，則函數的負整數解有且只有兩個等價于滿足直線在曲線下方時的負整數有且只有兩個，利用導數研究函數的單調性，由單調性，可得有最大值，結合函數圖像可得到結果.

詳解：（1）當時，，所以 ．

由可得：．

所以 當時，，是減函數；當時，，是增函數．

因為當時，，當時，．

所以函數的單調遞增區間是，，

單調遞減區間是．

（2）當時，可化為，則函數的負整數解有且只有兩個等價于滿足直線在曲線下方時的負整數有且只有兩個．

，令，得，

當時，，單調遞增；當時，，單調遞減．有最大值．

又，當時，，，，

所以，解得，

所以滿足題意的的取值范圍是．