Question

【題目】已知函數f(x)=3x,f(a+2)=27,函數g(x)=λ·2ax-4x的定義域為[0,2].

(1)求a的值;

(2)若函數g(x)在[0,2]上單調遞減,求λ的取值范圍;

(3)若函數g(x)的最大值是,求λ的值.

Answer 1

【答案】(1) a=1.

(2) (-∞,2].

(3) λ=.

【解析】

(1)由指數的運算法則可得a=1.

(2)由(1)得g(x)=λ·2x-4x.由題意可知任取0≤x1<x2≤2,Δy=y2-y1<0,原問題等價于λ<對于x∈[0,2]恒成立.據此可得λ的取值范圍是(-∞,2].

(3)設t=2x,換元可知1≤t≤4.且y=-,1≤t≤4.結合二次函數的性質分類討論可得λ=.

(1)27=3a+2=33,∴a=1.

(2)由(1)得,g(x)=λ·2x-4x.

任取0≤x1<x2≤2,則Δx=x2-x1>0,

∵g(x)在[0,2]上是減函數,

∴Δy=y2-y1<0,

Δy=y2-y1=g(x2)-g(x1)=λ·-(λ·)

=λ·-()2-[λ·-()2]

=()[λ-()]<0,對于x∈[0,2]恒成立.

∵>0,

∴λ-()<0對于x∈[0,2]恒成立,

即λ<對于x∈[0,2]恒成立.

∵>2,

∴λ≤2.

∴λ的取值范圍是(-∞,2].

(3)設t=2x,∵0≤x≤2,

∴1≤2x≤4.

∴1≤t≤4.

y=-t2+λt=-,1≤t≤4.

①當<1,即λ<2時,ymax=λ-1=,

∴λ=;

②當1≤≤4,即2≤λ≤8時,ymax=,

∴λ=[2,8](舍);

③當>4,即λ>8時,ymax=-16+4λ=,

∴λ=<8(舍).綜上λ=.