Question

【題目】已知二次函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為a(a<0).1,3是函數(shù)y=f(x)+2x的兩個(gè)零點(diǎn).若方程f(x)+6a=0有兩個(gè)相等的根,求f(x)的解析式.

Answer 1

【答案】f(x)=-x2-x-.

【解析】

由題意，利用待定系數(shù)法，f(x)+2x=a(x-1)(x-3),則f(x)+6a=ax2-(2+4a)x+9a=0.利用方程的判別式可得a=-.則f(x)=-x2-x-.

因?yàn)?/span>1,3是y=f(x)+2x的兩個(gè)零點(diǎn),且a<0,

所以f(x)+2x=a(x-1)(x-3),

得f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.①

所以f(x)+6a=ax2-(2+4a)x+9a=0.②

又方程②有兩個(gè)相等的實(shí)根,

所以Δ=[-(2+4a)]2-4a·9a=0,

即5a2-4a-1=0,

解得a=1(舍去)或a=-.

將a=-代入①,得

f(x)=-x2-x-.