Question

【題目】已知直線，，，記，，.

（1）當時，求原點關于直線的對稱點坐標；

（2）在中，求邊上中線長的最小值；

（3）求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）最小值為.（3）

【解析】

（1）當時，直線，設原點關于的對稱點為，利用 斜率與中點坐標公式列方程求解即可；（2）先證明，可得為直角三角形，則中線長為，再求得與的交點，與的交點，利用兩點間的距離公式，結合二次函數的性質可得結果；（3）求得與交點的坐標，可得，再求得

點到距離，則三角形面積 ，分類討論，利用基本不等式可得結果.

（1）當時，直線，

設原點關于的對稱點為，則解得

故所求點的坐標為.

（2）法一：由，得，

故為直角三角形，且為斜邊，中線長為，

由，得與的交點，

由，得與的交點，

故中線長，即當時，中線長有最小值為.

法二：因為點是軸上動點，所以當垂直軸時最短，

此時中線長最小值為.

（3）由，得與交點，

由兩點間距離公式得，

點到距離，

三角形面積 ，

當時，；

當時；

當時.

所以，，.