Question

【題目】[選修4—4：坐標系與參數方程]:在直角坐標系中，直線的參數方程為（t為參數，），以坐標原點為極點，以x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為，已知直線與曲線C交于不同的兩點A，B．

(1)求直線的普通方程和曲線C的直角坐標方程；

(2)設P(1，2)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）直線的普通方程為. 曲線的直角坐標方程為（2）

【解析】

(1)消去參數可得直線的普通方程，利用可以化成直角坐標方程；

(2)聯立直線和曲線方程，結合參數的幾何意義可求..

解：（1）因為，所以，兩式相減可得

直線的普通方程為.

因為，，，

所以曲線的直角坐標方程.

（2）將直線的參數方程代入曲線的直角坐標方程，

整理得關于的方程： .

因為直線與曲線有兩個不同的交點，所以上述方程有兩個不同的解，設為，

則 ，.

并且，

注意到 ，解得.

因為直線的參數方程為標準形式，所以根據參數的幾何意義，

有

，

因為，所以，.

因此的取值范圍是.