Question

【題目】如圖，在正四棱錐S－ABCD中，E，M，N分別是BC，CD，SC的中點，動點P在線段MN上運動時，下列四個結論：①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥平面SBD；④EP⊥平面SAC，其中恒成立的為( )

A.①③B.③④C.①②D.②③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

在①中：由題意得 AC⊥平面SBD，從而平面EMN∥平面SBD，由此得到AC⊥EP；在②中：由異面直線的定義可知：EP與BD是異面直線；在③中：由平面EMN∥平面SBD，從而得到EP∥平面SBD；在④中：由已知得EM⊥平面SAC，從而得到EP與平面SAC不垂直．

如圖所示，連接AC、BD相交于點O，連接EM，EN．

在①中：由正四棱錐S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC．

∵SO∩BD＝O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分別是BC，CD，SC的中點，

∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN＝M，∴平面EMN∥平面SBD，

∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正確．

在②中：由異面直線的定義可知：EP與BD是異面直線，不可能EP∥BD，因此不正確；

在③中：由①可知平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正確．

在④中：由①同理可得：EM⊥平面SAC，

若EP⊥平面SAC，則EP∥EM，與EP∩EM＝E相矛盾，

因此當P與M不重合時，EP與平面SAC不垂直．即不正確．

∴恒成立的結論是：①③．

故選：A．