Question

【題目】已知點為圓上一點，軸于點，軸于點，點滿足（為坐標原點），點的軌跡為曲線.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）斜率為的直線交曲線于不同的兩點、，是否存在定點，使得直線、的斜率之和恒為0.若存在，則求出點的坐標；若不存在，則請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）存在， 或

【解析】

（Ⅰ）設，,由將用表示，然后將代入，化簡即可得到結果；

（Ⅱ）假設存在定點滿足題意，設，，斜率為的直線的方程為，聯立直線與橢圓方程，利用韋達定理和斜率和為0恒成立，可得結果.

（Ⅰ）設，，

則，，

由得，

所以，所以，

又在圓上，

所以，即.

（Ⅱ）假設存在定點滿足題意，設，，斜率為的直線的方程為，

則，得，，

所以，解得

又，，

因為，

所以，

則，

則，

則，

則，

則，

所以對任意的恒成立，

所以，解得或，

所以存在定點或，使得、的斜率之和恒為0.