Question

【題目】已知函數f（x）=blnx+a（a＞0，b＞0）在x=1處的切線與圓（x﹣2）2+y2=4相交于A、B兩點，并且弦長|AB|= 2 ，則 + ﹣ 的最小值為 ．

Answer 1

【答案】5
【解析】解：f（x）=blnx+a（a＞0，b＞0），

∴f′（x）= ，

∴切線l的斜率為k=f′（1）=b，且f（1）=a；

∴f（x）在x=1處的切線l的方程為y﹣a=b（x﹣1），

即bx﹣y+a﹣b=0；

又切線l與圓（x﹣2）2+y2=4交于A、B兩點，且弦長|AB|=2 ，

∴圓心（2，0）到切線l的距離為d= ，

由d2+ =r2，

∴ + =22，

化簡得2ab+a2=1，

∴ + ﹣ = + ﹣

= +1+

=2（ + ）+1≥22 +1=4+1=5，

當且僅當a=b時取“=”；

∴所求的最小值為5．

所以答案是：5．

【考點精析】認真審題，首先需要了解基本不等式(基本不等式：,（當且僅當時取到等號）；變形公式：)．