Question

【題目】為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層，某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元，該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x)＝ (0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．設(shè)f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．

(1)求k的值及f(x)的表達式；

(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值．

Answer 1

【答案】（1）f(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)（2）5 cm厚，70萬元

【解析】試題分析：（1）由C（x）＝，可先求出k的值（C（0）＝8），然后根據(jù)題意；f（x）為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和，即6x（隔熱層建造費用）+20×（20年的能源消耗費）；

（2）由（1）已知函數(shù)解析式，可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，可運用導(dǎo)數(shù)可求出最值。（注意定義域）

試題解析：（1）設(shè)隔熱層厚度為x cm，由題設(shè)，每年能源消耗費用為C（x）＝，

再由C（0）＝8，得k＝40，因此C（x）＝，而建造費用為C1（x）＝6x.

最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為

f（x）＝20C（x）＋C1（x）＝20×＋6x＝＋6x（0≤x≤10）．

（2）f ′（x）＝6－，

令f ′（x）＝0，即＝6，解得x＝5，x＝－（舍去）．

當0<x<5時，f ′（x）<0， 當5<x<10時，f ′（x）>0，

故x＝5是f（x）的最小值點，對應(yīng)的最小值為f（5）＝6×5＋＝70.

當隔熱層修建5 cm厚時，總費用達到最小值70萬元．