Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調區間；

（2）若， 恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：(1) 求出函數的導數，通過討論 的范圍， 得增區間， 得減區間； (2)問題轉化為，討論 的范圍，根據函數的單調性求出 的最小值即可求出 的范圍.

試題解析：（1）.

（i）當時， ，函數在上單調遞增；

（ii）當時，令，則，

當，即，函數單調遞增；

當，即時，函數單調遞減.

綜上，當時，函數在上單調遞增；當時，函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是.

（2）令，由（1）可知，函數的最小值為，所以，即.

恒成立與恒成立等價，

令，即，則.

①當時， .（或令，則

在上遞增，∴，∴在上遞增，∴.

∴）.

∴在區間上單調遞增，

∴，

∴恒成立.

②當時，令，則，

當時， ，函數單調遞增.

又， ，

∴存在，使得，故當時， ，即，故函數在上單調遞減；當時， ，即，故函數在上單調遞增，

∴，

即， 不恒成立，

綜上所述， 的取值范圍是.