Question

若橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)過點（-3，2）離心率為

3

3

，⊙O的圓心為原點，直徑為橢圓的短軸，⊙M的方程為（x-8）²+（y-6）²=4，過⊙M上任一點P作⊙的切線PA、PB切點為A、B．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線PA與⊙M的另一交點為Q當弦PQ最大時，求直線PA的直線方程；
（3）求

OA

•

OB

的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）把點（3，2）代入橢圓方程，進而根據離心率和a，b，c的關系求得a和b，則橢圓方程可得．
（2）當直線PA過圓M的圓心（8，6），弦PQ最大．因為直線PA的斜率一定存在，所以可設直線PA的方程為：y-6=k（x-8）
又因為PA與圓O相切，進而可求得圓心（0，0）到直線PA的距離求得k，則直線方程可得．
（3）設∠AOP=α，則∠AOP=∠BOP，∠AOB=2α，根據二倍角公式求得cos∠AOB，進而根據

OA

•

OB

=

OA

•

OB

cos∠AOB求得

OA

•

OB

的最大值與最小值．

解答：解：（1）由題意得：

9 a2 + 4 b2 =1 c a = 3 3 a2=b2+c2

解得a=

15

，b=

10

所以橢圓的方程為

x2

15

+

y2

10

=1
（2）由題可知當直線PA過圓M的圓心（8，6），弦PQ最大．
因為直線PA的斜率一定存在，所以可設直線PA的方程為：y-6=k（x-8）
又因為PA與圓O相切，所圓心（0，0）到直線PA的距離為

10

即

|8k-6|

1+k2

=

10

，
可得k=

1

3

或k=

13

9

所以直線PA的方程為：x-3y+10=0或13x-9y-50=0
（3）設∠AOP=α，
則∠AOP=∠BOP，∠AOB=2α，
則cos∠AOB=2cos²α-1=

20

|0P|2

-1，
∴

OA

•

OB

=

OA

•

OB

cos∠AOB=

200

|0P|2

-10
∴（

OA

•

OB

）_max=-

55

8

，（

OA

•

OB

）_min=-

155

18

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程和向量的基本計算．考查了學生綜合運用所學知識解決問題的能力．