Question

【題目】已知點，橢圓的離心率為是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為2，O為坐標原點．

（1）求E的方程；

（2）設過點且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩M、N，且，求k的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）由題意可知：ac，利用直線的斜率公式求得c的值，即可求得a和b的值，求得橢圓E的方程；

（2）設直線l的方程，代入橢圓方程．由韋達定理及向量數量積的坐標運算，即可求得k的值，求得直線l的方程．

解：（1）由離心率e，則ac，

直線AF的斜率k2，則c＝1，a，

b2＝a2﹣c2＝1，

∴橢圓E的方程為；

（2）設直線l：y＝kx﹣，設M（x1，y1），N（x2，y2），

則，整理得：（1+2k2）x2﹣kx+4＝0，

△＝（﹣k）2﹣4×4×（1+2k2）＞0，即k2，

∴x1+x2，x1x2，

∴，

即,

解得：或（舍去）

∴k＝±，