Question

【題目】已知函數.

（1）討論的單調區間；

（2）當時，證明： .

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】試題分析：（1）求函數的單調區間，先求導，于導數可知導數的符號受參數的取值的影響，根據， ， ，分析即可，（2）要證，問題轉化為，然后構造函數，只需證明是增函數即可

試題解析：

解：（1）的定義域為，且，

①當時， ，此時的單調遞減區間為.

②當時，由，得；

由，得.

此時的單調減區間為，單調增區間為.

③當時，由，得；

由，得.

此時的單調減區間為，單調增區間為.

（2）當時，要證： ，

只要證： ，即證： .（*）

設，則，

設，

由（1）知在上單調遞增，

所以當時， ，于是，所以在上單調遞增，

所以當時，（*）式成立，

故當時， .

.