Question

【題目】如圖，已知四邊形和均為平行四邊形，點在平面內的射影恰好為點，以為直徑的圓經過點，，的中點為，的中點為，且．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．　

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）．

【解析】

試題分析: （Ⅰ）推導出平面，從而平面平面，從而，再求出，從而平面 ，由此能證明平面平面．（Ⅱ）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

試題解析:

（Ⅰ）∵點在平面內的射影恰好為點，∴平面，

又平面，∴平面平面．

又以為直徑的圓經過點，，，∴為正方形．

又平面平面，∴平面．

∵平面，，

又，∴，

又的中點為，∴，

∵，∴，

又平面，平面，，∴平面．

又平面，∴平面平面．

（Ⅱ）如圖，建立以為原點，的方向為軸的正方向，的方向為軸的正方向，的方向為軸的正方向的空間直角坐標系，

設，則，，，．

∵的中點為，∴，

故，，

設平面的法向量為，則∴

令，則．

易知平面的一個法向量為，

設二面角為，

∴，

容易看出二面角為銳角，故二面角的余弦值為．