Question

【題目】已知橢圓C：的離心率，橢圓C上的點(diǎn)到其左焦點(diǎn)的最大距離為.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)A作直線與橢圓相交于點(diǎn)B，則軸上是否存在點(diǎn)P，使得線段，且？若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；否則請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見(jiàn)解析.

【解析】

（Ⅰ）由橢圓C上的點(diǎn)到其左焦點(diǎn)的最大值為，可得，結(jié)合離心率解方程組即可得解；

（Ⅱ）先討論直線的斜率時(shí)，可得P，討論直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)為直線的方程為：，與橢圓聯(lián)立得點(diǎn)B，進(jìn)而得AB的中垂線方程，令可得點(diǎn)P，再由求解方程即可.

（Ⅰ）由題可知，故設(shè)則

又∵橢圓C上的點(diǎn)到其左焦點(diǎn)的最大值為

∴可判定那一點(diǎn)的坐標(biāo)為

∴

∴

∴a=2，

∴

∴橢圓C的方程為

（Ⅱ）由，可知點(diǎn)P在線段AB的中垂線上，由題意知直線的斜率顯然存在設(shè)為.

當(dāng)直線的斜率時(shí)，則B(2,0).設(shè).

由，解得，又.

當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)為直線的方程為：.

聯(lián)立得：.

有：，解得，即.

AB的中點(diǎn)為，

線段AB的中垂線為：，令，得.

即.

.解得，此時(shí).

綜上可得或.