Question

【題目】已知圓：，定點，是圓上的一動點，線段的垂直平分線交半徑于點．

（1）求點的軌跡的方程；

（2）四邊形的四個頂點都在曲線上，且對角線、過原點，若，求證：四邊形的面積為定值，并求出此定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明詳見解析，定值為．

【解析】

（1）利用橢圓的定義即可得到點的軌跡的方程；

（2）不妨設點、位于軸的上方，則直線的斜率存在，設的方程為，與橢圓方程聯立，求出四邊形的面積，即可證明結論.

（1）因為在線段的中垂線上，所以．

所以，

所以軌跡是以，為焦點的橢圓，且，，所以，

故軌跡的方程．

（2）不妨設點、位于軸的上方，則直線的斜率存在，設的方程為

，，．

聯立，得，

則，．①

由，

得．②

由①、②，得．③

設原點到直線的距離為，

，

．④

由③、④，得，故四邊形的面積為定值，且定值為．