Question

【題目】已知函數.

（1）求的最大值；

（2）證明:對任意的,都有；

（3）設,比較與的大小,并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析

【解析】分析：（1）判斷出函數的單調性，然后可求得最大值．（2）由（1）得．設，轉化為證明即可，根據的單調性可得結論成立．（3）由條件得，且，由于，故只需比較與的大小．令，設，故只需證明即可，由函數的單調性可得結論成立．

詳解：（1）由題意得，

∴函數在上單調遞增，在上單調遞減，

∴．

（2）由（1）得．

設，則，

故在上單調遞增，在上單調遞減，

故，

∴．

所以對任意的恒成立．

（3）由條件得，且，

∵，

∴，

故只需比較與的大小．

令，

設，

則.

因為，所以，

∴函數在上單調遞增，

∴．

∴對任意恒成立，

即，

∴．