Question

已知函數f(x)=msinx+

2

cosx(m＞0)的最大值為2．
（1）求函數f（x）在[0，π]上的單調遞減區間；
（2）△ABC中，f(A-

π

4

)+f(B-

π

4

)=4

6

sinAsinB，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且C=60°，c=3，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）將f（x）解析式利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，由正弦函數的值域表示出f（x）的最大值，由已知最大值為2列出關于m的方程，求出方程的解得到m的值，進而確定出f（x）的解析式，由正弦函數的遞減區間為[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]（k∈Z），列出關于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）在[0，π]上的單調遞減區間；
（2）由（1）確定的f（x）解析式化簡f（A-

π

4

）+f（B-

π

4

）=4

6

sinAsinB，再利用正弦定理化簡，得出a+b=

2

ab①，利用余弦定理得到（a+b）²-3ab-9=0②，將①代入②求出ab的值，再由sinC的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答：解：（1）f（x）=msinx+

2

cosx=

m2+2

sin（x+θ）（其中sinθ=

2

m2+2

，cosθ=

m

m2+2

），
∴f（x）的最大值為

m2+2

，
∴

m2+2

=2，
又m＞0，∴m=

2

，
∴f（x）=2sin（x+

π

4

），
令2kπ+

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z），解得：2kπ+

π

4

≤x≤2kπ+

5π

4

（k∈Z），
則f（x）在[0，π]上的單調遞減區間為[

π

4

，π]；
（2）設△ABC的外接圓半徑為R，由題意C=60°，c=3，得

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

3

sin60°

=2

3

，
化簡f（A-

π

4

）+f（B-

π

4

）=4

6

sinAsinB，得sinA+sinB=2

6

sinAsinB，
由正弦定理得：

a

2 3

+

b

2 3

=2

6

×

ab

2 3 ×2 3

，即a+b=

2

ab①，
由余弦定理得：a²+b²-ab=9，即（a+b）²-3ab-9=0②，
將①式代入②，得2（ab）²-3ab-9=0，
解得：ab=3或ab=-

3

2

（舍去），
則S_△ABC=

1

2

absinC=

3 3

4

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，兩角和與差的正弦函數公式，以及正弦函數的單調性，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．