Question

已知函數f(x)=m-

2

2x+1

是R上的奇函數，
（1）求m的值；
（2）先判斷f（x）的單調性，再證明之．

Answer 1

分析：（1）特值法：利用R上的奇函數滿足f（0）=0，即可求得m值．
（2）利用函數單調性的定義．

解答：解：（1）因為函數f(x)=m-

2

2x+1

是R上的奇函數，故有f（0）=0，即m-

2

20+1

=0，
解得m=1．
（2）f（x）在R上單調遞增，以下證明之：
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則f(x2)-f(x1)=-

2

2x2+1

+

2

2x1+1

=

2(2x2-2x1)

(2x2+1)(2x1+1)

∵x2＞x1∴2x2＞2x1，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，所以f（x₂）＞f（x₁），
故f（x）在R上單調遞增．

點評：本題考查了函數的奇偶性、單調性，準確理解相關定義是解決本題的基礎．