Question

已知函數f(x)=

m•3x-1

3x+1

是定義在實數集R上的奇函數．
（1）求實數m的值；
（2）若x滿足不等式4x+

1

2

-5•2x+1+8≤0，求此時f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由于 函數f(x)=

m•3x-1

3x+1

是定義在實數集R上的奇函數，則f（-x）=-f（x），構造方程，可求m值；
（2）由（1）可得函數的解析式，解不等式4x+

1

2

-5•2x+1+8≤0，可得函數的定義域，利用分析法可求出f（x）的值域

解答：解：（1）由題

m•3-x-1

3-x+1

=-

m•3x-1

3x+1

，即

m-3x

1+3x

=-

m•3x-1

3x+1

，故（m-1）•3^x+（m-1）=0，從而m=1；
（2）由4x+

1

2

-5•2x+1+8≤0得2•（2^x）²-10•2^x+8≤0，即（2^x-1）（2^x-4）≤0，故1≤2^x≤4，得0≤x≤2．因為f(x)=

3x-1

3x+1

=1-

2

3x+1

，而1≤3^x≤9，故f(x)∈[0，

4

5

]．

點評：本題考查的知識點是函數奇偶性，指數不等式的解法，函數的值域，（1）的關鍵是熟練掌握函數奇偶性的性質，（2）的關鍵是解指數不等式，求出函數的定義域．