Question

已知函數(shù)f(x)=m(sinx+cosx)4+

1

2

cos4x在x∈[0，

π

2

]時(shí)有最大值為

7

2

，則實(shí)數(shù)m的值為

 

．

Answer 1

分析：利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式以及二倍角公式化簡函數(shù)f(x)=m(sinx+cosx)4+

1

2

cos4x二次函數(shù)，通過m的取值分別求出函數(shù)的最大值時(shí)m的值，即可得到結(jié)果．

解答：解：函數(shù)f(x)=m(sinx+cosx)4+

1

2

cos4x
=m（1+2sinxcosx）²+

1

2

cos4x
=m（1+2sin2x+six²2x）+

1

2

（1-2sin²2x）
=（m-1）sin²2x+2msin2x+m+

1

2

．
①當(dāng)m=1時(shí)，函數(shù)化為：2sin2x+1+

1

2

．當(dāng)sin2x=1時(shí)，函數(shù)取得最大值，2+1+

1

2

=

7

2

．滿足題意．
②當(dāng)m＞1時(shí)，函數(shù)化為：（m-1）（sin2x+

m

m-1

）²+

1

2

-

m

m-1

，當(dāng)sin2x=1時(shí)，函數(shù)取得最大值，
可得m-1+2m+m+

1

2

=

7

2

，解得m=1，不滿足題意．
③當(dāng)m≤

1

2

時(shí)，

m

m-1

∈[-1，1]，當(dāng)sin2x=-

m

m-1

時(shí)，函數(shù)取得最大值，此時(shí)

1

2

-

m

m-1

=

7

2

，解得m=

3

4

，不滿足題意．
④當(dāng)

1

2

＜m＜1時(shí)，sin2x=1時(shí)函數(shù)取得最大值，此時(shí)有m-1+2m+m+

1

2

=

7

2

，解得m=1不滿足題意．
綜上，m=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的最值的應(yīng)用，分類討論思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．