Question

【題目】如圖，二次函數y=﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，OB=OC=3，直線l是拋物線的對稱軸，E是拋物線的頂點．

（I）求b，c的值；

（Ⅱ）如圖1，連BE，線段OC上的點F關于直線l的對稱點F′恰好在線段BE上，求點F的坐標；

（Ⅲ）如圖2，動點P在線段OB上，過點P作x軸的垂線分別與BC交于點M、與拋物線交于點N．試問：拋物線上是否存在點Q，使得△PQN與△APM的面積相等，且線段NQ的長度最小？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（I）b=2，c=3；；（Ⅱ）F的坐標為（0，2）；（Ⅲ）見解析．

【解析】分析：（I）將點B、C的坐標代入函數解析式求得系數b、c的值即可；

（Ⅱ）可設F（0，m），則可表示出F′的坐標，由B、E的坐標可求得直線BE的解析式，把F′坐標代入直線BE解析式可得到關于m的方程，可求得F點的坐標；

（Ⅲ）設點P坐標為（n，0），可表示出PA、PB、PN的長，作QR⊥PN，垂足為R，則可求得QR的長，用n可表示出Q、R、N的坐標，在Rt△QRN中，由勾股定理可得到關于n的二次函數，利用二次函數的性質可知其取得最小值時n的值，則可求得Q點的坐標．

詳解：（I）∵OB=OC=3，

∴B（3，0），C（0，3），

將其代入y=-x2+bx+c，得

，

解得b=2，c=3；

（Ⅱ）設點F的坐標為（0，m）．

∵對稱軸為直線x=1，

∴點F關于直線l的對稱點F的坐標為（2，m）．

由（I）可知拋物線解析式為y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，

∴E（1，4），

∵直線BE經過點B（3，0），E（1，4），

∴利用待定系數法可得直線BE的表達式為y=-2x+6．

∵點F在BE上，

∴m=-2×2+6=2，即點F的坐標為（0，2）；

（Ⅲ）存在點Q滿足題意．

設點P坐標為（n，0），則PA=n+1，PB=PM=3-n，PN=-n2+2n+3．

作QR⊥PN，垂足為R，

∵S△PQN=S△APM，

∴（n+1）（3-n）=（-n2+2n+3）QR，

∴QR=1．

①點Q在直線PN的左側時，Q點的坐標為（n-1，-n2+4n），R點的坐標為（n，-n2+4n），N點的坐標為（n，-n2+2n+3）．

∴在Rt△QRN中，NQ2=1+（2n-3）2，

∴n=時，NQ取最小值1．此時Q點的坐標為（，）；

②點Q在直線PN的右側時，Q點的坐標為（n+1，n2-4）．

同理，NQ2=1+（2n-1）2，

∴n=時，NQ取最小值1．此時Q點的坐標為（，）．

綜上可知存在滿足題意的點Q，其坐標為（，）或（，）．