Question

【題目】如圖，點P是矩形ABCD內一點，連接PA、PB、PC、PD，已知AB=3，BC=4，設△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面積分別為S1、S2、S3、S4以下判斷：①PA+PB+PC+PD的最小值為10；②若△PAB≌△PDC，則△PAD≌△PBC；③若S1＝S2，則S3＝S4；④若△PAB∽△PDA，則PA＝2.4；其中正確的是_______．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

①當點P是矩形ABCD兩對角線的交點時，PA+PB+PC+PD的值最小，根據勾股定理可得PA+PB+PC+PD的最小值，即可判斷；

②若△PAB≌△PDC，則PA=PD，PB=PC，所以P在線段AD、BC的垂直平分線上，無法判斷△PAD≌△PBC，故②錯誤；

③易證S1+S3=S2+S4，所以若S1=S2，則S3=S4，即可判斷；

④根據相似三角形的性質可得∠PAB=∠PDA，∠PAB+∠PAD=∠PDA+∠PAD=90°，利用三角形內角和定理得出∠APD=180°-（∠PDA+∠PAD）=90°，同理可得∠APB=90°，那么∠BPD=180°，即B、P、D三點共線，根據三角形面積公式可得PA=2.4，即可判斷．

①當點P是矩形ABCD兩對角線的交點時，PA+PB+PC+PD的值最小，根據勾股定理得，AC=BD=5，所以PA+PB+PC+PD的最小值為10，故①正確；

②若△PAB≌△PDC，則PA=PD，PB=PC，所以P在線段AD、BC的垂直平分線上，無法判斷△PAD≌△PBC，故②錯誤；

③若S1=S2，易證S1+S3=S2+S4，則S3=S4，故③正確；

④若△PAB～△PDA，則∠PAB=∠PDA，∠PAB+∠PAD=∠PDA+∠PAD=90°，∠APD=180°-（∠PDA+∠PAD）=90°，同理可得∠APB=90°，那么∠BPD=180°，B、P、D三點共線，P是直角△BAD斜邊上的高，根據面積公式可得PA=2.4，故④正確．

故答案為①③④．