Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+2x+m+1交x軸于點A（a，0）和B（b，0），交y軸于點C，拋物線的頂點為D，下列三個判斷中:①當x＞0時，y＞0；②若a=﹣1，則b=4；③拋物線上有兩點P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，則y1＞y2；正確的是（　　）

A. ① B. ② C. ③ D. ①②③都不對

Answer 1

【答案】C

【解析】

觀察函數圖象可直接得到拋物線在x軸上方所對應的自變量的范圍，從而可對①進行判斷；把A點坐標代入y＝﹣x2+2x+m+1中求出m，確定拋物線解析式，再通過解方程﹣x2+2x+3＝0得到B點坐標，從而可對②進行判斷；先確定拋物線的對稱軸為直線x＝1，則點P和點Q在對稱軸兩側，所以點P到直線x＝1的距離為1﹣x1，點Q到直線x＝1的距離為x2﹣1，然后比較點Q點對稱軸的距離和點P點對稱軸的距離的大小，再根據二次函數的性質可對③進行判斷．

當a＜x＜b時，y＞0，所以①錯誤；

當a＝﹣1時，A點坐標為（﹣1，0），把A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+2x+m+1得：﹣1﹣2+m+1＝0，解得：m＝2，則拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3，解方程﹣x2+2x+3＝0得：x1＝﹣1，x2＝3，則B（3，0），即b＝3，所以②錯誤；

拋物線的對稱軸為直線x1，因為x1＜1＜x2，所以點P和點Q在對稱軸兩側，點P到直線x＝1的距離為1﹣x1，點Q到直線x＝1的距離為x2﹣1，則x2﹣1﹣（1﹣x1）＝x2+x1﹣2，而x1+x2＞2，所以x2﹣1﹣（1﹣x1）＞0，所以點Q到對稱軸的距離比點P到對稱軸的距離要大，所以y1＞y2，所以③正確．

故選C．