Question

如圖，AB為⊙O的直徑，AC為⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于點D，DE⊥AC，交AC的延長線于點E．

（1）判斷直線DE與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若AE＝8，⊙O的半徑為5，求DE的長．

Answer 1

（1）直線DE與⊙O相切；（2）4

試題分析：1）直線DE與⊙O相切．  
理由如下：
連接OD．
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠OAD．
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD．
∴∠ODA＝EAD．
∴EA∥OD．  
∵DE⊥EA，
∴DE⊥OD．
又∵點D在⊙O上，∴直線DE與⊙O相切．
（2）方法一：

如圖1，作DF⊥AB，垂足為F．
∴∠DFA＝∠DEA＝90°．
∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，
∴△EAD≌△FAD．  
∴AF＝AE＝8，DF＝DE． 
∵OA＝OD＝5，∴OF＝3．
在Rt△DOF中，DF＝＝4．
∴DE＝DF＝4． 
方法二：
如圖2，連接DB．
      
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°．
∴∠ADB＝∠AED．
∵∠EAD＝∠DAB，
∴△EAD∽△DAB．
∴．
即．解得．
在Rt△ADE中，＝4． 
方法三：
如圖3，作OF⊥AD，垂足為F．

∴AF＝AD，∠AFO＝∠AED．
∵∠EAD＝∠FAO，
∴△EAD∽△FAO．
∴
即．解得．
在Rt△ADE中，DE＝＝4
點評：本題考查圓與直線相切及三角形全等及相似的知識，會判斷圓與直線相切及三角形全等及相似的知識是解決本題的關鍵，屬中等難度的題