Question

【題目】如圖，在中，，點在的內部，連接，，，若，，則的長為__________．

Answer 1

【答案】9

【解析】

將△ADC繞點A順時針旋轉到△AEB，連接DE，根據旋轉的性質證明△AED∽△ABC，利用相似三角形的性質結合∠ADB=90°推出∠EBD=90°，過點D作DF⊥AE，證明△EFD≌△EBD，得到BE=EF，根據，算出AF=3，在△AFD中，利用勾股定理算出AD，再在△ABD中利用勾股定理算出AC.

解：將△ADC繞點A順時針旋轉到△AEB，連接DE，

由題意可得：BD=6，∠ADC=∠AEB=2∠ABC，∠DAC=∠EAB，

∴∠EAD=∠BAC，

又∵AE=AD，AB=AC，

可知：△AED∽△ABC，

∴∠AED=∠ADE=∠BED=∠ABC=∠ADC=∠AEB，

∵∠ADB=∠ADE+∠BDE=90°，

∴∠BED+∠BDE=90°，

∴∠EBD=90°，

過點D作DF⊥AE，

∵∠BED=∠AED，

∴DB=DE=6，

在△EFD和△EBD中，

，

∴△EFD≌△EBD（AAS），

∴BE=EF，

∵，

設CD=x，

∴BE=EF=x，AD=AE=x+3，

∴AF=3，

在△AFD中，

AD=，

∴AC=AB=.

故答案為：9.