Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，點E是AD上一點，過點B作BF∥EC，交AD的延長線于點F，連接BE，CF．

（1）求證：△BDF≌△CDE；

（2）當ED與BC滿足什么數量關系時，四邊形BECF是正方形？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）當DE＝BC時，四邊形BECF是正方形.

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質得到BD=CD，根據全等三角形的判定定理即可得到結論；

（2）根據全等三角形的性質得到BF=CE，DE=DF，推出四邊形BECF是平行四邊形，得到四邊形BECF是菱形，于是得到結論．

（1）證明：∵AD是BC邊上的中線，AB＝AC，

∴BD＝CD，

∵BF∥EC，

∴∠DBF＝∠DCE，

∵∠BDF＝∠CDE，

∴△BDF≌△CDE（ASA）；

（2）解：當DE＝BC時，四邊形BECF是正方形，

理由：∵△BDF≌△CDE，

∴BF＝CE，DE＝DF，

∵BF∥CE，

∴四邊形BECF是平行四邊形，

∵AB＝AC，AD是中線，

∴四邊形BECF是菱形，

∵DE＝BC，DE＝DF＝EF，

∴EF＝BC，

∴四邊形BECF是正方形