Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，一拋物線的頂點坐標是，且過點，平行四邊形的頂點在此拋物線上，與軸相交于點.己知點的坐標是，點是拋物線上任意一點.

（1）求此拋物線的解析式及點的坐標；

（2）在拋物線上是否存在點，使得的面積是的面積的2倍？若存在，求此時點的坐標.

（3）在軸上有一動點，若，試建立關于的函數解析式，并求出的運動范圍；

Answer 1

【答案】（1）y=x2+1；M（0，2）；（2）存在，Q（2，4）或（-2，4）；（3）t=，點P的運動范圍為x軸上（，0）及其左側的部分

【解析】

（1）由拋物線的頂點坐標是（0，1），且過點（-2，2），故設其解析式為y=ax2+1，則利用待定系數法即可求得此拋物線的解析式，又由四邊形OABC是平行四邊形，則可求得點A與M的坐標；

（2）設△ABQ的邊AB上的高為h，可得S△BCM=BMOM=2，則又由S△ABQ=2S△BCM=AB×h，即可求得點Q的坐標；
（3）作QH⊥x軸，交x軸于點H，即可證得△PQH∽△CMO，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得x與t的關系式，求出t的取值范圍，從而確定點P的運動范圍.

解：（1）∵拋物線的頂點坐標是（0，1），且過點（-2，2），
故設其解析式為y=ax2+1，
則有：2=（-2）2×a+1，
得a=，
∴此拋物線的解析式為：y=x2+1，
∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴AB=OC=4，AB∥OC，
又∵y軸是拋物線的對稱軸，
∴點A與B是拋物線上關于y軸的對稱點，
則MA=MB=2，
即點A的橫坐標是2，
則其縱坐標y=×22+1=2，
即點A（2，2），
故點M（0，2）；

（2）設△ABQ的邊AB上的高為h，
∵S△BCM=BMOM=2，
∴S△ABQ=2S△BCM=AB×h=4，
∴h=2，
∴點Q的縱坐標為4，代入y=x2+1，
得x=±2，
∴存在符合條件的點Q，其坐標為（2，4），（-2/span>，4）；

（3）作QH⊥x軸，交x軸于點H．
則∠QHP=∠MOC=90°，
∵PQ∥CM，
∴∠QPH=∠MCO，
∴△PQH∽△CMO，
∴，

即，

而y=x2+1，

∴，

∴t=，

∴t的取值范圍是：t≤，

∴點P的運動范圍為x軸上（，0）及其左側的部分.