Question

【題目】如圖，一次函數與反比例函數的圖象在第一象限交于A，B兩點，A點的坐標為，B點的坐標為，連接，過B作軸，垂足為C．

（1）求一次函數和反比例函數的表達式；

（2）在射線上是否存在一點D，使得是直角三角形，求出所有可能的D點坐標．

Answer 1

【答案】（1），y＝；（2）（19，3）或（，3）．

【解析】

（1）先利用待定系數法求出反比例函數解析式，進而確定出點A的坐標，再用待定系數法即可求出一次函數解析式；

（2）由于點D在射線CB上，所以∠AOD≠90°，當∠OAD＝90°時，先求得直線AD的解析式，進而可求得點D坐標；當∠ODA＝90°時，設AO、BC交于點F，如圖2，則易知DF＝，求出點F的坐標和AO的長即可解決問題.

解：（1）∵點B（2，3）在反比例函數的圖象上，∴a＝2×3＝6，

∴反比例函數的表達式為y＝，

∵點A的縱坐標為6，點A在反比例函數y＝圖象上，∴A（1，6），

把點A（1，6）、B（2，3）代入中，得：，解得：，

∴一次函數的表達式為；

（2）由于點D在射線CB上，所以∠AOD≠90°.

①當∠OAD＝90°時，如圖1，∵直線OA的解析式為：，∴設直線AD的解析式為，

把點A（1，6）代入，得，∴直線AD的解析式為，

當y＝3時，x＝19，∴D（19，3）；

②當∠ODA＝90°時，設AO、BC交于點F，如圖2，

∵A（1，6），B（2，3），軸，

∴AF＝OF＝DF＝，F（，3），

∴點D的坐標為（，3）；

綜上所述，滿足條件的點D坐標為（19，3）或（，3）．