Question

【題目】如圖，在△ABC中，點D，E分別是邊BC，AC上的中點，連接DE，并延長DE至點F，使EF=ED，連接AD，AF，BF，CF，線段AD與BF相交于點O，過點D作DG⊥BF，垂足為點G.

(1)求證：四邊形ABDF是平行四邊形；

(2)當時，試判斷四邊形ADCF的形狀，并說明理由；

(3)若∠CBF=2∠ABF，求證：AF=2OG．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)四邊形ADCF是矩形，理由見解析；(3)證明見解析.

【解析】

（1）欲證明四邊形ABDF是平行四邊形，只要證明AF∥BD，AF=BD即可．

（2）結論：四邊形ADCF是矩形，只要證明∠DAF=90°即可．

（3）作AM⊥DG 于M，連接BM，先證明AM=2OG，再證明AM=AF即可解決問題．

（1）證明：∵點D，E分別是邊BC，AC上的中點，

∴ED∥AB，AE=CE，

∵EF=ED，

∴四邊形ADCF是平行四邊形，

∴AF∥BC，

∴四邊形ABDF是平行四邊形；

（2）四邊形ADCF是矩形．

理由：∵AE=DF，EF=ED，

∴AE=EF=DE，

∴∠EAF=∠AFE，∠DAE=∠ADE，

∴∠DAF=∠EAF+∠EAD=×180°=90°，

由（1）知：四邊形ADCF是平行四邊形；

∴四邊形ADCF是矩形；

（3）證明：作AM⊥DG 于M，連接BM．

∵四邊形ABDF是平行四邊形，

∴OA=OD，∵OG∥AM，

∴GM=GD，

∴AM=2OG，

∵BG⊥DM，GM=GD，

∴BM=BD，

∴∠CBF=∠MBG，

∵∠CBF=2∠ABF，

∴∠ABM=∠ABF，

∵AM∥BF，

∴∠MAB=∠ABF，

∴∠MAB=∠MBA，

∴AM=BM=BD=AF=2OG，

∴AF=2OG．