Question

【題目】如圖，在ABCD中，點E是AB邊的中點，DE與CB的延長線交于點F．
（1）求證：△ADE≌△BFE；
（2）若DF平分∠ADC，連接CE．試判斷CE和DF的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC．

又∵點F在CB的延長線上，

∴AD∥CF，

∴∠1=∠2．

∵點E是AB邊的中點，

∴AE=BE．

∵在△ADE與△BFE中，

，

∴△ADE≌△BFE（AAS）

（2）解：CE⊥DF．理由如下：

如圖，連接CE．

由（1）知，△ADE≌△BFE，

∴DE=FE，即點E是DF的中點，∠1=∠2．

∵DF平分∠ADC，

∴∠1=∠3，

∴∠3=∠2，

∴CD=CF，

∴CE⊥DF．

【解析】（1）由全等三角形的判定定理AAS證得結論；（2）由（1）中全等三角形的對應邊相等推知點E是邊DF的中點，∠1=∠2；根據角平分線的性質、等量代換以及等角對等邊證得DC=FC，則由等腰三角形的“三線合一”的性質推知CE⊥DF．
【考點精析】本題主要考查了平行四邊形的性質的相關知識點，需要掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分才能正確解答此題．