Question

【題目】如圖1，直線AB過點A（m，0），B（0，n），且m+n=20（其中m＞0，n＞0）．

（1）m為何值時，△OAB面積最大？最大值是多少？
（2）如圖2，在（1）的條件下，函數 的圖象與直線AB相交于C、D兩點，若 ，求k的值．
（3）在（2）的條件下，將△OCD以每秒1個單位的速度沿x軸的正方向平移，如圖3，設它與△OAB的重疊部分面積為S，請求出S與運動時間t（秒）的函數關系式（0＜t＜10）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A（m，0），B（0，n），

∴OA=m，OB=n．

∴S△AOB= ．

∵m+n=20，

∴n=20﹣m，

∴S△AOB= =- m2+10m=﹣ （m﹣10）2+50

∵a=﹣ ＜0，

∴拋物線的開口向下，

∴m=10時，S最大=50

（2）

解：∵m=10，m+n=20，

∴n=10，

∴A（10，0），B（0，10），

設AB的解析式為y=kx+b，由圖象，得

，

解得： ，

y=﹣x+10．

∵ ，

∴設S△OCD=8a．則S△OAC=a，

∴S△OBD=S△OAC=a，

∴S△AOB=10a，

∴10a=50，

∴a=5，

∴S△OAC=5，

∴ OAy=5，

∴y=1．

1=﹣x+10，

x=9

∴C（9，1），

∴1= ，

∴k=9；

（3）

解：移動后重合的部分的面積是△O′C′D′，t秒后點O的坐標為O′（t，0），

O′A=10﹣t，O′E=10．

∵C′D′∥CD，

∴△O′C′D′∽△O′CD，

∴ ，

∴

S=40 ，

∴ （0＜t＜10）．

【解析】（1）由A（m，0），B（0，n），可以表示出OA=m，OB=n，由三角形的面積公式就可以求出結論；（2）由（1）的結論可以求出點A點B的坐標，就可以求出直線AB的解析式，根據雙曲線的對稱性就可以求出S△OBD=S△OAC的值，再由三角形的面積公式就可以求出其值；（3）根據平移的性質可以求得△O′C′D′∽△O′CD，再由相似三角形的性質就可以求出就可以求出S△O′C′D′和S△O′CD的面積關系，從而可以求出S與運動時間t之間的函數關系式．
【考點精析】本題主要考查了反比例函數的圖象和反比例函數的性質的相關知識點，需要掌握反比例函數的圖像屬于雙曲線．反比例函數的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．有兩條對稱軸：直線y=x和 y=-x．對稱中心是：原點；性質:當k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內y值隨x值的增大而減小； 當k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內y值隨x值的增大而增大才能正確解答此題．