Question

【題目】如圖，□ABCD 中，AE 平分∠BAD，交BC 于E，DE⊥AE，下列結論：①DE平分∠ADC；②E 是BC 的中點；③AD=2CD；④四邊形ADCE 的面積與△ABE的面積比是3：1，其中正確的結論的個數有（ ）

A.4
B.3
C.2
D.1

Answer 1

【答案】A
【解析】①∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠EAD=∠BAE=∠BAD，
∵DE⊥AE，
∴∠AED=90°，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠BAE+∠CDE=90°，
∴∠ADE=∠CDE，
∴DE平分∠ADC，故①正確；
②∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB=CD
∴∠DAE=∠AEB，
∵∠EAD=∠BAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=EB，
同理EC=DC，
∴EB=EC，
∴E是BC的中點，故②正確；
③∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，
∵BE=EC，
∴AD=2CD，故③正確；
④∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴S△AED=S平行四邊形ABCD ，
∴S△ABE+S△EDC═S平行四邊形ABCD ，
∵EB=EC，
∴S△ABE=S△EDC ，
∴四邊形ADCE的面積與△ABE的面積比是3：1，故④正確，
故選：A．
【考點精析】關于本題考查的等腰三角形的判定和平行四邊形的性質，需要了解如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）．這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等；平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分才能得出正確答案．