Question

【題目】問(wèn)題情境:

在綜合實(shí)踐課上，張老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)，張老師拿著一張矩形紙片ABCD，其中AB=acm, AD=bcm, 如圖1，先沿對(duì)角線BD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E的位置，BE交AD于點(diǎn)F.

操作發(fā)現(xiàn)：

（1）“奮進(jìn)”小組發(fā)現(xiàn)與BF的長(zhǎng)度一定相等的線段是哪一條；

（2）如圖2．“雄鷹”小組將圖1再折疊一次，使點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，得到折痕GH，GH交AD于點(diǎn)M，發(fā)現(xiàn)△DGH是等腰三角形，請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論；

實(shí)踐探究：

（3）“創(chuàng)新”小組將自己準(zhǔn)備的矩形紙片按照（2）中“雄鷹”小組的作法操作，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E和點(diǎn)G重合，，如圖3，試探究“創(chuàng)新”小組準(zhǔn)備的矩形紙片中a與b滿足的數(shù)量關(guān)系；

（4）”愛(ài)心”小組在其他小組的基礎(chǔ)上提出問(wèn)題：當(dāng)a與b滿足什么關(guān)系時(shí)，點(diǎn)G是DE的中點(diǎn)？請(qǐng)你直接出a與b滿足的關(guān)系.

Answer 1

【答案】（1）BF=DF,（2）△DGH是等腰三角形,（3）b=(4)a=b

【解析】

（1）根據(jù)折疊的條件,證明△AFB≌△EFD(AAS)即可解題,

（2）找到對(duì)稱軸,證明GH平行CD,利用內(nèi)錯(cuò)角相等得∠GHD=∠HDC,由折疊得∠GDH=∠GHD,等量代換得∠GDH=∠GHD,等角對(duì)等邊即可解題.

（3）在Rt△BED中利用斜邊中線等于斜邊一半,得BD=2EH,根據(jù)已知,用代數(shù)式表示出BD和EH的長(zhǎng)即可解題,

（4）根據(jù)題意,證明四邊形ABCD是正方形,即可直接寫(xiě)出a=b的結(jié)論.

解：（1）BF=DF,

由折疊可知:AB=DE,∠A=∠E,∠AFB=∠EFD,

∴△AFB≌△EFD(AAS)

∴BF=DF,

（2）由（1）可知∠GDH=∠HDC

由圖可知：GH為對(duì)稱軸,點(diǎn)D和點(diǎn)A關(guān)于GH對(duì)稱,即GH垂直平分AD,

∵四邊形ABCD是矩形,AD⊥CD,

∴GH∥CD,

∴∠GHD=∠HDC

∴∠GDH=∠GHD

∴△DGH是等腰三角形,

（3）由題可知,點(diǎn)H為對(duì)角線BD上的中點(diǎn),EH=ED,

在Rt△BED中,BD=2EH（斜邊中線等于斜邊一半）

∵AB=acm, AD=bcm,

∴EH=ED=AB= a,BD=

∴=a,整理得：b=

(4)a=b

理由:根據(jù)題意可知,GH為中位線,GH∥EB,點(diǎn)A與E重合,此時(shí)圖形為正方形,

故a=b