Question

【題目】綜合與實踐

問題情境

數學活動課上，老師讓同學們根據如下問題情境，發現并提出問題．

如圖1，△ABC與△EDC都是等腰直角三角形，點E，D分別在AC和BC上，連接EB．將線段EB繞點B順時針旋轉90°，得到的對應線段為BF．連接DF．“興趣小組”提出了如下兩個問題：①AE=BD，AE⊥BD；②DF=AB，DF⊥AB．

解決問題：

（1）請你證明“興趣小組”提出的第②個問題．

探索發現：

（2）“實踐小組”在圖1的基礎上，將△EDC繞點C順時針旋轉角度（0°＜＜90°），其它條件保持不變，得到圖2．

①請你幫助“實踐小組”探索：“興趣小組”提出的兩個問題是否還成立？如果成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

②如圖3，當AD=AF時，請求出此時旋轉角α的大小．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①成立，見解析；②45°

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的性質及線段的和差關系可得AE=DB，由旋轉的性質可得∠EBF=90°，BE=BF，根據三角形外角性質及角的和差關系可得∠AEB=∠DBF，利用SAS可證明△AEB≌△DBF，可得AB=DF，∠ABE=∠DFB，由∠ABE+∠ABF=90°可得∠DFB+∠ABF=90°，即可得出∠AQF=90°，可得AB⊥DF；

（2）①如圖，延長AE與BD交于點P，交BC于O，根據旋轉的性質可得∠ACE=∠DCB，利用SAS可證明△ACE≌△BCD，可得AE=BD，∠CAE=∠CBD，根據角的和差關系可得∠APB=90°，可得AE⊥BD；根據三角形外角性質及角的和差關系可得∠AEB=∠DBF，利用SAS可證明△AEB≌△DBF，可得AB=DF，∠ABE=∠DFB，由∠ABE+∠ABF=90°可得∠DFB+∠ABF=90°，即可得出∠AQF=90°，可得AB⊥DF；

②根據AD=AF，AB⊥DF可得AB垂直平分DF，可得BD=BF=BE，利用SSS可證明△BEC≌△BDC，可得∠DCB=∠ECB=∠ECD=45°，根據旋轉的性質可得α=∠DCB=45°．

（1）∵△ABC與△EDC為等腰直角三角形，

∴AC=BC，EC=DC，

∴AE=DB．

∵將線段EB繞點B順時針旋轉90°，得到的對應線段為BF，

∴∠EBF=90°，BE=BF，

∵∠AEB=∠C+∠EBC，∠DBF=∠EBF+∠DBE，∠C=∠EBF=90°，

∴∠AEB=∠DBF．

在△AEB和△DBF中，

∴△AEB≌△DBF，

∴AB=DF，∠ABE=∠DFB．

∵∠ABE+∠ABF=90°，

∴∠DFB+∠ABF=90°，

∴∠AQF=90°，即AB⊥DF．

（2）①如圖，延長AE與BD交于點P，交BC于O，

∵將△EDC繞點C順時針旋轉角度

∴∠ACE=∠DCB，

在△ACE和△BCD中，

∴△ACE≌△BCD，

∴AE=BD，∠CAE=∠CBD．

∵∠AOC=∠BOP，∠AOC+∠CAO=90°，

∴∠CBD+∠BOP=90°，

∴∠APB=90°，即AP⊥BD．

∵∠AEB=∠APB+∠EBD，∠DBF=∠EBF+∠DBE，∠APB=∠EBF=90°，

∴∠AEB=∠DBF．

在△AEB和△DBF中，

∴△AEB≌△DBF，

∴AB=DF，∠ABE=∠DFB．

∵∠ABE+∠ABF=90°，

∴∠DFB+∠ABF=90°，

∴∠AQF=90°，即AB⊥DF．

②∵AD=AF，AB⊥DF，

∴AB垂直平分DF．

∴BD=BF=BE，

在△BEC和△BDC中，

∴△BEC≌△BDC，

∴∠DCB=∠ECB=∠ECD=45°．

∴旋轉角α的大小是45°．