Question

【題目】閱讀下面材料：

小明遇到這樣一個問題：

如圖1，△ABC中，∠ACB=90°，點D在AB上，且∠BAC=2∠DCB，求證：AC=AD．

小明發現，除了直接用角度計算的方法外，還可以用下面兩種方法：

方法1：如圖2，作AE平分∠CAB，與CD相交于點E．

方法2：如圖3，作∠DCF=∠DCB，與AB相交于點F．

（1）根據閱讀材料，任選一種方法，證明AC=AD．

用學過的知識或參考小明的方法，解決下面的問題：

（2）如圖4，△ABC中，點D在AB上，點E在BC上，且∠BDE=2∠ABC，點F在BD上，且∠AFE=∠BAC，延長DC、FE，相交于點G，且∠DGF=∠BDE．

①在圖中找出與∠DEF相等的角，并加以證明；

②若AB=kDF，猜想線段DE與DB的數量關系，并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）∠DEF=∠FDG，證明見解析；②結論：BD=kDE．理由見解析.

【解析】（1）方法一：如圖2中，作AE平分∠CAB，與CD相交于點E，想辦法證明△AEC≌△AED即可；

方法二：如圖3中，作∠DCF＝∠DCB，與AB相交于點F，想辦法證明∠ACD＝∠ADC即可；

（2）①如圖4中，結論：∠DEF＝∠FDG．理由三角形內角和定理證明即可；②結論：BD＝kDE．如圖4中，如圖延長AC到K，使得∠CBK＝∠ABC．首先證明△DFE∽△BAK，推出＝，推出BK＝kDE，再證明△BCD≌△BCK，可得BD＝BK.

解：（1）方法一：如圖2中，作AE平分∠CAB，與CD相交于點E．

∵∠CAE=∠DAE，∠CAB=2∠DCB，

∴∠CAE=∠CDB．

∵∠CDB+∠ACD=90°，

∴∠CAE+∠ACD=90°，

∴∠AEC=90°．

∵AE=AE，∠AEC=∠AED=90°，

∴△AEC≌△AED，

∴AC=AD；

方法二：如圖3中，作∠DCF=∠DCB，與AB相交于點F．

∵∠DCF=∠DCB，∠A=2∠DCB，

∴∠A=∠BCF．

∵∠BCF+∠ACF=90°，

∴∠A+∠ACF=90°，

∴∠AFC=90°，

∵∠ACF+∠BCF=90°，∠BCF+∠B=90°，

∴∠ACF=∠B，

∵∠ADC=∠DCB+∠B=∠DCF+∠ACF=∠ACD，

∴AC=AD；

（2）①如圖4中，結論：∠DEF=∠FDG．

理由：在△DEF中，∠DEF+∠EFD+∠EDF=180°，

在△DFG中，∠GFD+∠G+∠FDG=180°，

∵∠EFD=∠GFD，∠G=∠EDF，

∴∠DEF=∠FDG．

②結論：BD=kDE，

理由：如圖4中，如圖延長AC到K，使得∠CBK=∠ABC，

∵∠ABK=2∠ABC，∠EDF=2∠ABC，

∴∠EDF=∠ABK．

∵∠DFE=∠A，

∴△DFE∽△BAK，

∴＝，

∴BK=kDE，

∴∠AKB=∠DEF=∠FDG．

∵BC=BC，∠CBD=∠CBK，

∴△BCD≌△BCK，

∴BD=BK，

∴BD=kDE