Question

【題目】已知，如圖1，拋物線過三點，頂點為點，連接，點為拋物線對稱軸上一點，連接，直線過點兩點．

（1）求拋物線及直線的函數解析式；

（2）求的最小值；

（3）求證：∽；

（4）如圖2，若點是在拋物線上且位于第一象限內的一動點，請直接寫出面積的最大值及此時點的坐標．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）詳見解析；（4）（4），此時．

【解析】

（1）根據A，B坐標用兩點式設出拋物線解析式，再把C點坐標代入，求出解析式，然后再根據B，C坐標求出直線的函數解析式即可；

（2）關于拋物線的對稱軸對稱，則當的值最小時，直線與拋物線的對稱軸的交點即為點，此時，根據B，C坐標求出BC長即可；

（3）作軸于點，設拋物線的對稱軸與軸交于點，求出CD和AC長，得到，即可證明；

（4）設M點為，則N點為，表示出△MBC的面積，求出最大值即可.

（1）∵拋物線過，

∴可設拋物線的函數解析式為，

把代入得，，

，

∴拋物線的解析式為，

把代入得，

，

解得，，

∴直線的解析式為；

（2）關于拋物線的對稱軸對稱，

∴當的值最小時，直線與拋物線的對稱軸的交點即為點，

∴此時，

，

∴的最小值是；

（3）如圖3，作軸于點，設拋物線的對稱軸與軸交于點，

∵拋物線的對稱軸為直線，

∴把代入得，

∴，

，，

又，

，

，

∽；

（4）過點M作MN⊥x軸，交CB于點N，

∵M在拋物線上，N在CB上，

∴設M點為，則N點為，

則

則當時，有最大值，

此時．