Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，⊙C與AB相切于點D，延長AC到點E，使CE＝AC，連接EB．過點E作BE的垂線，交⊙C于點P、Q，交BA的延長線于點F．

（1）求AD的長；

（2）求證：EB與⊙C相切；

（3）求線段PQ的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）連結CD，易證△ACD∽△ABC，由相似三角形的性質即可求得AD的長；

（2）過點C作CK⊥BE交BE于點K，要證EB與⊙C相切，即證CK=CD=圓的半徑，由∠ACB=90°且CE=AC可證得BE是∠ABE的平分線，即可證得CK=CD；

（3）過點C作CG⊥FE交FE于點G，由矩形的性質和全等三角形的性質得CG=AD，由勾股定理可求得GQ，即可求出PQ．

解：（1）如圖，連接CD，

∵⊙C與AB相切于點D，

∴CD⊥AB，則∠ADC=90°，

∴∠CAD+∠ACD=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠CAD+∠CBA=90°，∠ADC=∠ACB=90°，

∴∠ACD=∠CBA，

∴△ACD∽△ABC，

∴，

∵AC=6，AB=10，

∴，

∴AD=；

（2）如圖，過點C作CK⊥BE交BE于點K，

∵∠ACB=90°，CE=AC，即BC垂直且平分AE，

∴BA=BE，△BAE是等腰三角形，

∴BC平分∠ABE，

∵CD⊥AB，CK⊥BE，

∴CK=CD=圓的半徑，

∴EB與⊙C相切；

（3）如圖，過點C作CG⊥FE交FE于點G，連結CQ，

∴PQ=2QG，∠CGE=90°，

又∵EF⊥BE，CK⊥BE，

∴∠GEK=∠CKE=∠CGE=90°，

∴四邊形EGCF為矩形，

∴GE=CK，

由（2）可知CK=CD，

∴GE=CD，

在Rt△ADC和Rt△CGE中，

∴Rt△ADC≌Rt△CGE，

∴CG=AD=，

∵AC=6，AD=，

∴，

∴CQ=CD=，

∴，

∴PQ=2GQ=．