Question

【題目】如圖，以G（0，1）為圓心，半徑為2的圓與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)E為⊙G上一動(dòng)點(diǎn)，CF⊥AE于F．當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為（　　）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】分析：連接AC，AG，由OG垂直于AB，利用垂徑定理得到O為AB的中點(diǎn)，由G的坐標(biāo)確定出OG的長(zhǎng)，在直角三角形AOG中，由AG與OG的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AO的長(zhǎng)，進(jìn)而確定出AB的長(zhǎng)，由CG+GO求出OC的長(zhǎng)，在直角三角形AOC中，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，由CF垂直于AE，得到三角形ACF始終為直角三角形，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡為以AC為直徑的半徑，如圖中紅線所示，當(dāng)E位于點(diǎn)B時(shí)，CO⊥AE，此時(shí)F與O重合；當(dāng)E位于D時(shí)，CA⊥AE，此時(shí)F與A重合，可得出當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)，在直角三角形ACO中，利用銳角三角函數(shù)定義求出∠ACO的度數(shù)，進(jìn)而確定出所對(duì)圓心角的度數(shù)，再由AC的長(zhǎng)求出半徑，利用弧長(zhǎng)公式即可求出的長(zhǎng)．

詳解：連接AC，AG，

∵GO⊥AB，

∴O為AB的中點(diǎn)，即AO=BO=AB，

∵G（0，1），即OG=1，

∴在Rt△AOG中，根據(jù)勾股定理得：AO=，

∴AB=2AO=2，

又CO=CG+GO=2+1=3，

∴在Rt△AOC中，根據(jù)勾股定理得：AC=，

∵CF⊥AE，

∴△ACF始終是直角三角形，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡為以AC為直徑的半圓，

當(dāng)E位于點(diǎn)B時(shí)，CO⊥AE，此時(shí)F與O重合；當(dāng)E位于D時(shí)，CA⊥AE，此時(shí)F與A重合，

∴當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)，

在Rt△ACO中，tan∠ACO=，

∴∠ACO=30°，

∴度數(shù)為60°，

∵直徑AC=2，

∴的長(zhǎng)為，

則當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．

故選B．