Question

【題目】已知，.點在上以的速度由點向點運動，同時點在上由點向點運動，它們運動的時間為．

（1）如圖①，，，若點的運動速度與點的運動速度相等，當時，與是否全等，請說明理由，并判斷此時線段和線段的位置關系；

（2）如圖②，將圖①中的“，”為改“”，其他條件不變．設點的運動速度為，是否存在實數，使得與全等？若存在，求出相應的、的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）全等，PC與PQ垂直；（2）存在，或

【解析】

（1）利用SAS證得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，進一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出結論即可；
（2）由△ACP≌△BPQ，分兩種情況：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程組求得答案即可．

解：（1）當t=1時，AP=BQ=1，BP=AC=3，
又∠A=∠B=90°，
在△ACP和△BPQ中，

，

∴△ACP≌△BPQ（SAS）．
∴∠ACP=∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．
∴∠CPQ=90°，
即線段PC與線段PQ垂直．
（2）①若△ACP≌△BPQ，
則AC=BP，AP=BQ，

，

解得，

②若△ACP≌△BQP，
則AC=BQ，AP=BP，

，

解得，

綜上所述，存在或使得△ACP與△BPQ全等．